Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Замена переменных в двойных интегралах Площадь криволинейной трапеции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям

Кратные интегралы методы и примеры решений

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1 Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

  Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим график (рис.29).


Упражнение 1. Провести исследование функций и построить их графики:

  1. y = x6-3x4+3x2-5;
  2. y = x2e1/x;
  3. y = x+ln (x2-1);
  4. y = 1/2sin 2x+cos x.
На главную