Кратные интегралы методы и примеры решений

Двойные интегралы в полярных координатах

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2): Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы! Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку с радиус-вектором . Очевидно, что вектор также будет находиться в заданной плоскости

Рис.3		Рис.4

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство. Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда, поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

Пример Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты.

Найти интеграл , где область интегрирования R ограничена кардиоидой

Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .

Пусть область интегрирования R типа I (элементарная относительно оси Oy) ограничена графиками функций .

Двойные интегралы в произвольной области Пример Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена графиками функций .

Вычислить интеграл . Область интегрирования R ограничена прямыми .

Найти интеграл , где область R представляет собой сегмент окружности. Границы сегмента заданы уравнениями .

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Вычислить интеграл . Область интегрирования представляет собой треугольник с вершинами O (0,0), B (0,1) и C (1,1).