Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Замена переменных в двойных интегралах Площадь криволинейной трапеции Двойные интегралы в полярных координатах Интегрирование по частям

Кратные интегралы методы и примеры решений

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du

. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Интегрирование Типовой расчет по высшей математике

Пример Вычислить .

Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

  Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Вычислить интеграл .

Вычислить интеграл .

Пример 5. Найти y', если y = 5cos x.

y' = 5cos x(-sin x)ln 5=-5cos x sin x ln 5.

 

Таблица производных простейших элементарных функций

Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова.

  1. (ua(x))' = a ua-1(x)u'(x), в частности,
    (1/u(x))' = -u'(x)/u2(x), ()' = u'(x)/2;
  2. (logau(x))' = (u'(x)logae)/u(x) при 0<a1, u(x)>0, в частности, (ln u(x))' = u'(x)/u(x);
  3. (au(x))' = au(x)ln a u'(x) при 0<a1, в частности, (eu(x))' = u'(x)eu(x);
  4. (sin u(x))' = cos u(x)u'(x);
  5. (cos u(x))' = -sin u(x)u'(x);
  6. (tg u(x))' = u'(x)/cos2u(x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...;
  7. (ctg u(x))' = -u'(x)/sin2u(x) x№ p n, n=0,+-1,...;
  8. (arcsin u(x))' = u'(x)/, -1<u(x)<1;
  9. (arccos u(x))' = -u'(x)/, -1<u(x)<1;
  10. (arctg u(x))' = u'(x)/(1+u2(x));
  11. (arcctg u(x))' = -u'(x)/(1+u2(x)).
Введем гиперболические функции:
sh x = (1/2)(ex-e-x)- гиперболический синус;
ch x = (1/2)(ex+ex)- гиперболический косинус;
th x = sh x/ch x -гиперболический тангенс;
cth x = ch x/sh x - гиперболический котангенс.
Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.
  1. (sh x)' = ch x;
  2. (ch x)' = sh x;
  3. (th x)' = 1/ch2 x;
  4. (cth x)' = -1/sh2 x.
На главную